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作者： tokenpocket官网app下载安卓版
2024-03-08 18:47:57

合数（数字分类基础概念）_百度百科

字分类基础概念）_百度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心合数是一个多义词，请在下列义项上选择浏览（共2个义项）展开添加义项合数[hé shù]播报讨论上传视频数字分类基础概念收藏查看我的收藏0有用+10本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。中文名合数外文名Composite number适用领域(威尔逊定理)应用学科数学性    质大于1且除1和这个数本身，还能被其他正整数整除的整数类    型数字分类基础概念所属范围自然数目录1定义2性质3类型4相关▪质数▪算术基本定理定义播报编辑合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。 [1]性质播报编辑所有大于2的偶数都是合数。所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。所有个位为4，6，8的自然数都是合数。最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。(算术基本定理)对任一大于5的合数(威尔逊定理):类型播报编辑合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个有两个质因数的合数称为半质数，有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中，亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。对于后者，（其中μ为默比乌斯函数且''x''为质因数个数的一半），而前者则为注意，对于质数，此函数会传回 -1，且。而对于有一个或多个重复质因数的数字''n''，。另一种分类合数的方法为计算其因数的个数。所有的合数都至少有三个因数。一质数的平方数，其因数有。一数若有著比它小的整数都还多的因数，则称此数为高合成数。另外，完全平方数的因数个数为奇数个，而其他的合数则皆为偶数个。相关播报编辑质数只有1和它本身两个因数的自然数，叫质数（或称素数）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个因数，所以2就是质数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。）100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，一共有25个。质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中的证明使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素数或者不是素数。如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg则用拓扑学加以证明。任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积，这里P1百度知道 - 信息提示

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什么是质数与合数？ - 知乎

什么是质数与合数？ - 知乎切换模式写文章登录/注册什么是质数与合数？易考360管理类联考易考360管理类联考考研辅导什么是质数？什么是合数？1是质数吗？2是合数吗？联考中经常考哪些数？这些看似基础却又经常搞错的数学知识点，常令考生在考试中失分，今天就带大家捋一捋！质数：只有1和它本身两个因数（约数），那么这样的数叫做质数。比如7，只有1和7两个约数。合数：除了能被1和它本身整除，还能被其他的正整数整除，那么这样的数叫做合数。比如8，有1、2、4和8四个约数。所以说，因数个数为2，则是质数；因数个数大于2，则是合数。那“1”因数只有1个，是质数还是合数呢？答案是，既不是质数也不是合数，因为它只有本身一个因数，不符合质数和合数两个定义。在联考中会考啥？怎么考呢？1、30以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。2、2是唯一一个偶数质数，且常作为考点！其他质数均是奇数！例：如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个数是2！ 如果三个质数之和为偶数，那么其中必有一个数是2！同学们能绕过来吗？接下来让我们看一道例题，联考是怎么考的呢？例：设m、n是小于20的质数，满足条件|m-n|=2的{m，n}共有（ ）。A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 E.8组答案解析：C。枚举思维（20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19），显然，有3,5；5,7；11,13；17,19。共4组，这里要弄清楚3,5和5,3是一样的，集合数数列的区别，有序与无序！若问的是m，n取值有集中情况，则为8种。怎么样，同学们都清楚了吗？编辑于 2022-04-08 11:01数学​赞同 5​​添加评论​分享​喜欢​收藏​申请

小学数学 质数与合数 - 知乎

小学数学 质数与合数 - 知乎切换模式写文章登录/注册小学数学 质数与合数鲲鹏​小学数学中的质数与合数概念，主要是帮助学生理解和区分大于1的自然数中，哪些数是由1和自身两个因子构成的，而哪些数是由1和其他约数（即除了自身和1之外的因数）构成的。质数的定义是指一个大于1的自然数，除了1和它自身外，没有其他约数，这样的数称为质数[[1]]。例如，2、3、5、7都是质数[[5]]。这意味着这些数只有1和它们本身作为因数，没有第三个因数。合数的定义则是指一个大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他的约数[[6]]。例如，100以内的合数包括11、43、75、97、135等[[1]]。这意味着这些数除了有1和它们本身作为因数外，还有更多的因数。在小学数学的教学中，质数和合数的概念是通过练习题来教授的。例如，有关于20以内既是合数又是奇数的数的填空题[[2]]，以及判断一个数是否为质数还是合数的题目[[3]]。这些练习旨在帮助学生通过实际操作和思考，加深对质数和合数概念的理解。总的来说，小学数学中的质数与合数概念，不仅是数学基础知识的一部分，也是培养学生逻辑思维能力和解决问题能力的重要工具。通过不断的练习和理解，学生可以更好地掌握这一数学领域的基本概念。#### 如何通过游戏或活动提高学生对质数与合数概念的理解？1. **利用在线游戏和益智小游戏**：可以通过在线平台如7K7K提供的质数与合数游戏，让学生在规定的时间内躲避含合数或头骨的泡沫，并将含有质数的泡沫切碎，以此来练习和理解质数与合数的概念[[23]][[27]]。这种方式既有趣又能有效地提高学生的学习兴趣。2. **设计课堂小游戏**：在课堂上通过设计一些小游戏，如抖音上提到的质数合数课堂小游戏，使学生在轻松愉快的氛围中学习质数和合数的知识。这些小游戏不仅可以帮助学生理解和掌握质数合数的意义，还能培养学生的归纳概括能力[[24]]。3. **结合实际生活情境**：通过模拟现实生活中的情境，如在质数合数小游戏中，让学生了解到质数是只有1和它本身的数，而合数是约数至少有三个。这样的例子能够帮助学生更直观地理解质数和合数的区别[[25]]。4. **同步练习题和知识点讲解**：通过提供与五年级数学下册相关的质数与合数知识点及同步练习题，让学生在完成习题的同时，加深对这一概念的认识和理解。同时，可以参考搜狐上发布的《质数和合数》知识点及同步练习题，进行针对性的练习[[26]]。5. **家庭数学活动**：对于年龄较小的孩子，可以通过家庭活动如《找小球》活动，让幼儿在运用数学知识解决实际问题的同时，也提高了对集合概念的理解。这种早期的数学训练有助于孩子们建立起对数学的兴趣和基础[[29]]。通过结合游戏、在线平台、课堂小游戏、实际生活情境模拟、同步练习题以及家庭数学活动等多种方式，可以有效地提高学生对质数与合数概念的理解。#### 质数与合数在解决实际问题中的应用有哪些例子？质数与合数在解决实际问题中的应用例子包括但不限于以下几个方面：1. **质因数分解问题**：质数分解是解决整数的一种重要方法，特别是在计算机科学和数学教育中。通过质数分解，可以将一个较大的整数分解为若干个小的质数之和，这对于处理大型数据集、密码学等领域非常有用[[31]]。2. **最大公约数和最小公倍数问题**：在实际应用中，如工程设计、经济规划等，经常需要计算两个或多个变量的最大公约数和最小公倍数。这些问题的解决往往依赖于对质数和合数的深入理解[[32]]。3. **计数质数**：计数质数是统计所有小于非负整数n的质数的数量，这在数学教学和研究中是一个基本且重要的任务。例如，通过计数100以内的质数，可以帮助学生了解质数的分布规律[[34]]。4. **GRE数学考点**：GRE（Graduate Record Examinations）考试中的数学考点之一就是质数和合数。通过分解质因数的方法解决整除相关的问题，以及认识平方数和非平方数的因数个数，这些都是GRE数学考试中的重要内容[[38]]。5. **应用题求解**：在一些特定的应用题中，如将四个数任意组合的乘积问题，也涉及到质数和合数的知识。这种类型的问题通常要求学生能够理解并运用质数和合数的概念来解决[[33]]。质数与合数在解决实际问题中的应用非常广泛，从基础的数学知识学习到高级的数学问题解决，都离不开对质数和合数的深入理解和应用。#### 如何设计一个有趣的练习，帮助学生区分质数和合数？1. **引入游戏化学习**：可以利用现有的在线游戏或应用程序，如PrimeSmash![[43]]。这种游戏通过点击、消除的方式来记忆质数，既有趣又能有效地帮助学生理解质数和合数的概念。2. **制作质数表**：根据[[42]]的建议，可以让学生制作100以内的质数表，并熟记其中的20个质数。这样的练习不仅能够巩固学生对质数和合数的理解，还能提高他们的记忆力和计算能力。3. **设计挑战性问题**：可以设计一些具有挑战性的问题，比如“自然数中除了质数就是合数吗？”[[41]]。通过这些问题，可以激发学生的好奇心和探索欲，同时也能加深他们对质数和合数的理解。4. **结合实际生活实例**：将质数和合数的概念与日常生活中的例子相结合，比如解释为什么1不是质数，因为它的约数只有一个，即1 [[45]]。这样的例子能够让学生理解到数学知识在现实世界中的应用，从而更加容易接受和理解。5. **小组合作学习**：鼓励学生进行小组合作，共同探讨和解决问题。通过小组讨论，学生可以相互学习，分享彼此的想法和解题方法，这不仅能够提高学生的团队协作能力，还能促进他们之间更好的沟通和交流。通过引入游戏化学习、制作质数表、设计挑战性问题、结合实际生活实例以及小组合作学习等方式，可以有效地帮助学生设计一个有趣的练习，从而更好地区分质数和合数。#### 质数与合数的概念在不同文化中的表现形式有哪些？质数与合数的概念在不同文化中的表现形式可能因文化背景、历史发展和数学传统的不同而有所差异。在现代数学中，质数的定义是指除了自己的1和一以外，没有其他约数的数。合数的概念则是指除了自身和一之外，还有其他约数的数[[48]]。然而，证据并未提供关于不同文化中这两个概念的表现形式的具体信息。由于缺乏直接我搜索到的资料，我们无法详细探讨质数与合数在不同文化中的表现形式。不过，可以推测，这些概念在数学教育和研究中被广泛讨论，但其表现形式可能会受到文化背景的影响，比如在某些文化中，人们可能更倾向于使用“无限”或“无穷”来描述某些数列，而不是简单地将它们分为质数和合数。此外，不同的数学分支（如代数、几何等）对质数的理解也有所不同，这可能导致在特定领域内对质数与合数的定义有细微的差别。虽然基于现有资料无法详细说明质数与合数在不同文化中的表现形式，但可以合理推测这种概念在数学教育和研究中具有普遍性，且可能受到文化背景的影响。#### 如何通过实验或观察活动帮助学生直观理解质数与合数的定义？1. **实验和观察活动结合**：可以设计一些实验活动，让学生在动手操作中发现质数和合数的特点。例如，通过摆放不同数量的小正方形来观察它们是否为质数或合数，这样的活动能够直观地展示质数和合数的特性[[49]]。2. **利用数轴进行对比**：通过数轴的使用，让学生比较近似数在数轴上的位置，如1.5的两位小数位于1.45~1.54之间，这种直观的比较可以帮助学生理解质数和合数的概念[[51]]。3. **实验环节的设计**：设计一些实验环节，引导学生在操作活动中自主发现自然数因数个数的特点，从而初步感知素数和合数的概念[[52]]。4. **激活学生的相关经验**：从激活学生的相关经验入手，让学生写出某些数的所有因数，然后让学生思考从中能发现什么，这样通过对因数个数的讨论，引出质数、合数的概念，有助于学生形成对这两个概念的理解[[53]]。5. **观察、实验与猜想**：注重让学生根据基本的数学活动经验，初步提出猜想，经历知识的过程，使学生理解质数、合数的意义，并学会判断一个数是质数还是合数[[54]]。6. **通过找质数认识质数和合数**：在学生学习了“找质数”的基础上进行的基础上进行教学，通过找质数的过程来认识质数和合数，这样的教学方式能够让学生更好地理解质数和合数的概念[[55]]。通过上述方法，可以有效地帮助学生从直观的角度理解质数与合数的定义，从而提升数学素养。发布于 2024-02-19 15:08・IP 属地四川小学数学素数数学​赞同​​添加评论​分享​喜欢​收藏​申请

数论 - 质数与合数 - 知乎

数论 - 质数与合数 - 知乎首发于Tiger爱数学切换模式写文章登录/注册数论 - 质数与合数Tiger​数学爱好者，微信公众号“老虎科学探秘”在自然数中有一类数非常特殊，它们叫质数又叫素数。质数指那些大于1的，且除了1和它自身之外再没有其它约数的自然数。合数是指除了1和它自身之外还有其它约数的自然数。自然数1既不是质数也不是合数。100以内的质数有25个，{2、3、5、7、11......}，2是质数中唯一的偶数。质数在自然数的世界中承担着重要的角色，就像元素对于化学或者粒子对于物理一样，从一定的的意义上讲，自然数是由素数构成的。为什么这么讲呢？我们看一下算数基本定理：大于1的自然数n都可以分解成有限个质数的乘积n=p1^a1 x p2^2 x ...x pn^an; p1、p2、......、pn都是质数，a1、a2、......、an都是大于0的自然数。这就是分解质因数，算数基本定理告诉我们两件事：对于任一大于1的自然数，一定可以分解成以上的形式对于任一大于1的自然数，这个分解形式具有唯一性（不计质数的排列次序）质数是不是有限个？当然不是，我们看看欧几里得是怎么证明的：假设质数个数是有限的，有n个，把所有的质数有小到大排列p1、p2、......、pn存在N=p1 x p2 x......x pn +1, N一定大于pn如果N是质数，说明存在一个大于pn的质数N；如果N是合数，那么N一定可以被某个质数整除，但所有的n个质数p1、p2、......、pn都不能整除N，因为它们除N都余1，一定在n个质数之外还有质数，所以假设不成立，质数有无限多个。来个题玩玩：证明存在自然数n，使得n+1、n+2、......、n+2019都是合数。其实只需使得n=2020!+1，那么2020!+2、2020!+3、......、2020!+2020都是合数。这个证明很容易，但结论却很有趣，换句话说，你总可以找到任意多个连续的自然数，它们中都不会出现质数。再来一个：从1~100，任意取一些不同的数相乘使得它们的乘积是平方数，有多少种取法？关\注\公\众\号“老虎科学探秘”后台回复191128，我们来对对答案吧！编辑于 2020-05-06 17:15初等数论小学奥数初中数学​赞同 24​​3 条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录Tiger

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怎么通俗的解释质数和合数？ - 知乎

怎么通俗的解释质数和合数？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答​切换模式登录/注册数论素数初等数论怎么通俗的解释质数和合数？关注者3被浏览7,589关注问题​写回答​邀请回答​好问题​添加评论​分享​5 个回答默认排序李仲坚1948​ 关注质数也称素数。依整除性定义：素数只能被常数1或自己整除，不能被常数1或自己以外的其他数整除，那么，这种正整数称为素数。乘积判断：素数只能用常数1乘以自己，不能用其他数两个数的乘积替补的正整数。合数：除了能被常数1或自己整除，还能被常数1或自己以外的正整数整除。合数的乘积，除了常数1乘以自己外，还能用其他两个正整数的乘积而确定。发布于 2020-03-08 15:13​赞同 3​​添加评论​分享​收藏​喜欢收起​罗胖子数学课堂坚持学习，坚持分享​ 关注质数和合数最快分辨的方法是什么？6525 播放 · 1 赞同发布于 2022-06-04 15:39· 418 次播放​赞同​​添加评论​分享​收藏​喜欢

数论基础 - OI Wiki

- OI Wiki 跳转至 OI Wiki 数论基础 正在初始化搜索引擎 OI-wiki/OI-wiki 简介 比赛相关 工具软件 语言基础 算法基础 搜索 动态规划 字符串 数学 数据结构 图论 计算几何 杂项 专题 关于 Hulu OI Wiki OI-wiki/OI-wiki 简介 简介 Getting Started 关于本项目 如何参与 OI Wiki 不是什么 格式手册 数学符号表 F.A.Q. 用 Docker 部署 OI Wiki 镜像站列表 致谢 比赛相关 比赛相关 比赛相关简介 赛事 赛事 OI 赛事与赛制 ICPC/CCPC 赛事与赛制 题型 题型 题型概述 交互题 学习路线 学习资源 技巧 技巧 读入、输出优化 分段打表 常见错误 常见技巧 出题 工具软件 工具软件 工具软件简介 代码编辑工具 代码编辑工具 Vim Emacs VS Code Atom Eclipse Notepad++ Kate Dev-C++ CLion Geany Xcode GUIDE Sublime Text CP Editor 评测工具 评测工具 评测工具简介 Arbiter Cena CCR Plus Lemon 命令行 编译器 WSL (Windows 10) Special Judge Testlib Testlib Testlib 简介 通用 Generator Validator Interactor Checker Polygon OJ 工具 LaTeX 入门 Git 语言基础 语言基础 语言基础简介 C++ 基础 C++ 基础 Hello, World! 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数论基础 目录 整除 带余数除法 最大公约数与最小公倍数 互素 辗转相除法 素数与合数 算术基本定理 同余 C/C++ 的整数除法和取模运算 数论函数 积性函数 定义 性质 例子 参考资料与注释 素数 最大公约数 数论分块 欧拉函数 筛法 Meissel–Lehmer 算法 分解质因数 裴蜀定理 类欧几里德算法 欧拉定理 & 费马小定理 乘法逆元 线性同余方程 中国剩余定理 升幂引理 威尔逊定理 卢卡斯定理 同余方程 二次剩余 原根 离散对数 剩余 莫比乌斯反演 杜教筛 Powerful Number 筛 Min_25 筛 洲阁筛 连分数 Stern–Brocot 树与 Farey 序列 二次域 循环连分数 Pell 方程 多项式与生成函数 多项式与生成函数 多项式与生成函数简介 代数基本定理 快速傅里叶变换 快速数论变换 快速沃尔什变换 Chirp Z 变换 多项式牛顿迭代 多项式多点求值|快速插值 多项式初等函数 常系数齐次线性递推 多项式平移|连续点值平移 符号化方法 普通生成函数 指数生成函数 狄利克雷生成函数 组合数学 组合数学 排列组合 抽屉原理 容斥原理 康托展开 斐波那契数列 错位排列 卡特兰数 斯特林数 贝尔数 伯努利数 Entringer Number Eulerian Number 分拆数 范德蒙德卷积 图论计数 线性代数 线性代数 线性代数简介 向量 内积和外积 矩阵 初等变换 行列式 线性空间 线性基 线性映射 特征多项式 对角化 Jordan标准型 线性规划 线性规划 线性规划简介 单纯形算法 群论 群论 群论简介 置换群 概率论 概率论 基本概念 条件概率与独立性 随机变量 随机变量的数字特征 概率不等式 博弈论 博弈论 博弈论简介 公平组合游戏 非公平组合游戏 反常游戏 数值算法 数值算法 插值 数值积分 高斯消元 牛顿迭代法 傅里叶-莫茨金消元法 序理论 杨氏矩阵 Schreier–Sims 算法 Berlekamp–Massey 算法 数据结构 数据结构 数据结构部分简介 栈 队列 链表 哈希表 并查集 并查集 并查集 并查集复杂度 堆 堆 堆简介 二叉堆 配对堆 左偏树 块状数据结构 块状数据结构 分块思想 块状数组 块状链表 树分块 Sqrt Tree 单调栈 单调队列 ST 表 树状数组 线段树 李超线段树 区间最值操作 & 区间历史最值 划分树 二叉搜索树 & 平衡树 二叉搜索树 & 平衡树 二叉搜索树 & 平衡树 Treap Splay 树 WBLT Size Balanced Tree AVL 树 B 树 B+ 树 替罪羊树 Leafy Tree 笛卡尔树 红黑树 左偏红黑树 AA 树 2-3 树 2-3-4 树 跳表 可持久化数据结构 可持久化数据结构 可持久化数据结构简介 可持久化线段树 可持久化块状数组 可持久化平衡树 可持久化字典树 可持久化可并堆 树套树 树套树 线段树套线段树 平衡树套线段树 线段树套平衡树 树状数组套权值线段树 分块套树状数组 K-D Tree 动态树 动态树 Link Cut Tree 全局平衡二叉树 Euler Tour Tree Top Tree 析合树 PQ 树 手指树 霍夫曼树 图论 图论 图论部分简介 图论相关概念 图的存储 DFS（图论） BFS（图论） 树上问题 树上问题 树基础 树的直径 最近公共祖先 树的重心 树链剖分 树上启发式合并 虚树 树分治 动态树分治 AHU 算法 树哈希 树上随机游走 矩阵树定理 有向无环图 拓扑排序 最小生成树 斯坦纳树 最小树形图 最小直径生成树 最短路 拆点 差分约束 k 短路 同余最短路 连通性相关 连通性相关 强连通分量 双连通分量 割点和桥 圆方树 点/边连通度 环计数问题 2-SAT 欧拉图 哈密顿图 二分图 最小环 平面图 图的着色 网络流 网络流 网络流简介 最大流 最小割 费用流 上下界网络流 Stoer–Wagner 算法 图的匹配 图的匹配 图匹配 增广路 二分图最大匹配 二分图最大权匹配 一般图最大匹配 一般图最大权匹配 Prüfer 序列 LGV 引理 弦图 最大团搜索算法 支配树 图上随机游走 计算几何 计算几何 计算几何部分简介 二维计算几何基础 三维计算几何基础 距离 Pick 定理 三角剖分 凸包 扫描线 旋转卡壳 半平面交 平面最近点对 随机增量法 反演变换 计算几何杂项 杂项 杂项 杂项简介 离散化 双指针 离线算法 离线算法 离线算法简介 CDQ 分治 整体二分 莫队算法 莫队算法 莫队算法简介 普通莫队算法 带修改莫队 树上莫队 回滚莫队 二维莫队 莫队二次离线 莫队配合 bitset 分数规划 随机化 随机化 随机函数 随机化技巧 爬山算法 模拟退火 悬线法 计算理论基础 字节顺序 约瑟夫问题 格雷码 表达式求值 在一台机器上规划任务 主元素问题 Garsia–Wachs 算法 15-puzzle Kahan 求和 珂朵莉树/颜色段均摊 专题 专题 RMQ 并查集应用 括号序列 线段树与离线询问 关于 Hulu 关于 Hulu 关于 Hulu 目录 整除 带余数除法 最大公约数与最小公倍数 互素 辗转相除法 素数与合数 算术基本定理 同余 C/C++ 的整数除法和取模运算 数论函数 积性函数 定义 性质 例子 参考资料与注释 数论基础本文对于数论的开头部分做一个简介。整除整除的定义：设 ，。如果 ，使得 ，那么就说 可被 整除，记作 ； 不被 整除记作 。整除的性质：设 ，那么 。设 ，那么 。设 ，那么 。约数（因数）：若 ，则称 是 的倍数， 是 的约数。 是所有非 整数的倍数。对于整数 ， 的约数只有有限个。平凡约数（平凡因数）：对于整数 ，、 是 的平凡约数。当 时， 只有两个平凡约数。对于整数 ， 的其他约数称为真约数（真因数、非平凡约数、非平凡因数）。约数的性质：设整数 。当 遍历 的全体约数的时候， 也遍历 的全体约数。设整数 ，则当 遍历 的全体正约数的时候， 也遍历 的全体正约数。在具体问题中，如果没有特别说明，约数总是指正约数。带余数除法余数的定义：设 为两个给定的整数，。设 是一个给定的整数。那么，一定存在唯一的一对整数 和 ，满足 。无论整数 取何值， 统称为余数。 等价于 。一般情况下， 取 ，此时等式 称为带余数除法（带余除法）。这里的余数 称为最小非负余数。余数往往还有两种常见取法：绝对最小余数： 取 的绝对值的一半的相反数。即 。最小正余数： 取 。即 。带余数除法的余数只有最小非负余数。如果没有特别说明，余数总是指最小非负余数。余数的性质：任一整数被正整数 除后，余数一定是且仅是 到 这 个数中的一个。相邻的 个整数被正整数 除后，恰好取到上述 个余数。特别地，一定有且仅有一个数被 整除。最大公约数与最小公倍数关于公约数、公倍数、最大公约数与最小公倍数，四个名词的定义，见 最大公约数。互素两个整数互素（既约）的定义：若 ，则称 和 互素（既约）。多个整数互素（既约）的定义：若 ，则称 互素（既约）。多个整数互素，不一定两两互素。例如 、 和 互素，但是任意两个都不互素。互素的性质与最大公约数理论：裴蜀定理（Bézout's identity）。见 裴蜀定理。辗转相除法辗转相除法是一种算法，也称 Euclid 算法。见 最大公约数。素数与合数关于素数的算法见 素数。设整数 。如果 除了平凡约数外没有其他约数，那么称 为素数（不可约数）。若整数 且 不是素数，则称 为合数。 和 总是同为素数或者同为合数。如果没有特别说明，素数总是指正的素数。整数的因数是素数，则该素数称为该整数的素因数（素约数）。素数与合数的简单性质：大于 的整数 是合数，等价于 可以表示为整数 和 （）的乘积。如果素数 有大于 的约数 ，那么 。大于 的整数 一定可以表示为素数的乘积。对于合数 ，一定存在素数 使得 。素数有无穷多个。所有大于 的素数都可以表示为 的形式1。算术基本定理算术基本引理：设 是素数，，那么 和 至少有一个成立。算术基本引理是素数的本质属性，也是素数的真正定义。算术基本定理（唯一分解定理）：设正整数 ，那么必有表示：其中 是素数。并且在不计次序的意义下，该表示唯一。标准素因数分解式：将上述表示中，相同的素数合并，可得：称为正整数 的标准素因数分解式。算术基本定理和算术基本引理，两个定理是等价的。同余同余的定义：设整数 。若 ，称 为模数（模）， 同余于 模 ， 是 对模 的剩余。记作 。否则， 不同余于 模 ， 不是 对模 的剩余。记作 。这样的等式，称为模 的同余式，简称同余式。根据整除的性质，上述同余式也等价于 。如果没有特别说明，模数总是正整数。式中的 是 对模 的剩余，这个概念与余数完全一致。通过限定 的范围，相应的有 对模 的最小非负剩余、绝对最小剩余、最小正剩余。同余的性质：自反性：。对称性：若 ，则 。传递性：若 ，则 。线性运算：若 则有：。。若 , 则 。若 ，则当 成立时，有 。若 ，则当 成立时，有 。若 ，则当 成立时，有 。若 能整除 及 中的一个，则 必定能整除 中的另一个。还有性质是乘法逆元。见 乘法逆元。C/C++ 的整数除法和取模运算在 C/C++ 中，整数除法和取模运算，与数学上习惯的取模和除法不一致。对于所有标准版本的 C/C++，规定在整数除法中：当除数为 0 时，行为未定义；否则 (a / b) * b + a % b 的运算结果与 a 相等。也就是说，取模运算的符号取决于除法如何取整；而除法如何取整，这是实现定义的（由编译器决定）。从 C992和 C++113标准版本起，规定 商向零取整（舍弃小数部分）；取模的符号即与被除数相同。从此以下运算结果保证为真：1

2

3

45 % 3 == 2;

5 % -3 == 2;

-5 % 3 == -2;

-5 % -3 == -2;

数论函数数论函数指定义域为正整数的函数。数论函数也可以视作一个数列。积性函数定义若函数 满足 且 都有 ，则 为积性函数。若函数 满足 且 都有 ，则 为完全积性函数。性质若 和 均为积性函数，则以下函数也为积性函数：设 若 为积性函数，则有 。若 为完全积性函数，则有 。例子单位函数：。（完全积性）恒等函数：， 通常简记作 。（完全积性）常数函数：。（完全积性）除数函数：。 通常简记作 或 ， 通常简记作 。欧拉函数：莫比乌斯函数：，其中 表示 的本质不同质因子个数，它是一个加性函数。加性函数 此处加性函数指数论上的加性函数 (Additive function)。对于加性函数 ，当整数 互质时，均有 。 应与代数中的加性函数 (Additive map) 区分。参考资料与注释Are all primes (past 2 and 3) of the forms 6n+1 and 6n-1? ↩Arithmetic operators (C) - cppreference.com ↩Arithmetic operators (C++) - cppreference.com ↩本页面最近更新：2023/3/1 01:11:07，更新历史发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！本页面贡献者：383494, buuzzing, Emp7iness, Enter-tainer, Great-designer, jifbt, jiyu596, Koishilll, ksyx, oo-infty, Saisyc, sshwy, xyf007本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用Copyright © 2016 - 2024 OI Wiki Team Made with Material for MkDocs 最近更新：7ff011ae, 2024-03-

合数（数论基础概念）_1. 所谓合数,是指除了1和其本身外,至少还有一个因子的自然数,4是最小的合数。-CSDN博客

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合数（数论基础概念）_1. 所谓合数,是指除了1和其本身外,至少还有一个因子的自然数,4是最小的合数。-CSDN博客

合数（数论基础概念）

最新推荐文章于 2024-03-07 21:15:55 发布

窦尊

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数论

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        合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数（素数），而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。

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合数（数论基础概念）

合数

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合数的概念及判别

qq_38606272的博客

01-14

1181

概念：自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数(0除外)整除的数。

判别：所有大于2的偶数都是合数;所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数;除0以外，所有个位为0的自然数都是合数;所有个位为4，6，8的自然数都是合数。

举例：4是合数。合数指的是在大于1的整数中，除了能被1和它本身整除外，还能被除0以外的其他数整除的数，4能被2整除。所以，4是合数。

...

数论的基础知识

08-03

基础数论

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C++数论基础 C++数论基础 C++数论基础.pptx

03-23

这是一套完整的数论学习教材，可供C++数论初学者学习，里面内容丰富，通俗易懂。

解析数论基础.pdf

12-20

数论作为密码学重要的基础入门课程，这本书十分简单易懂。

基础数论 Weil

10-30

[基础数论].Weil.-.Basic.Number.Theory.(Springer.1974).pdf

数论基础及其应用 [沈忠华 编著] 2015年版

05-10

数论基础及其应用 作者：沈忠华 编著 出版时间：2015年版 内容简介 　《数论基础及其应用》为数学与密码学交叉学科的特色教材，内容包括整除理论、同余、连分数、同余方程、原根。《数论基础及其应用》以数论知识为...

素数（质数）与因数分解的知识讲解

Hanson1019的博客

05-06

858

素数（质数）与因数分解的知识讲解

素数判定

No Game No Life的专栏

07-18

723

题目描述 Description

质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

素数在数论中有着很重要的地位。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想等。算术基本定理证明每个大于1的正整数都可以写成素数的

【基础算法】数论的基本概念

qq_72363261的博客

12-05

33

一篇介绍数论基本概念的文章

算法篇——素数问题(看了就会）

qq_67058859的博客

12-05

896

是可以整除一个数的整数，例如1，2，3，6可以整除6，那么这些除数就叫做被除数的因子。也叫，指的是在的自然数中，除了和不在有其他因数的自然数。例如 2 3 5 7 11，这些数字的因数都是由1和本身构成的。是素数的反义词，是指除了1和本身两个因数外，至少还有1个因数。例如 4 6 8 10 .这些数字的因数除了1和本身，还有其他的因数。注意：1既不是素数也不是合数！！！

算法归纳【数组篇】

qq_45927881的博客

03-07

777

给定一个含有 n 个正整数的数组和一个正整数 s ，找出该数组中满足其和 ≥ s 的长度最小的 连续 子数组，并返回其长度。如果A[i] * A[i] >= A[j] * A[j] 那么result[k–] = A[i] * A[i];如果A[i] * A[i] < A[j] * A[j] 那么result[k–] = A[j] * A[j];输出: [ [ 1, 2, 3 ], [ 8, 9, 4 ], [ 7, 6, 5 ] ]输入：matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]

LeetCode27: 移除元素

m0_50127633的博客

03-07

252

解释：函数应该返回新的长度 2, 并且 nums 中的前两个元素均为 2。例如，函数返回的新长度为 2 ，而 nums = [2,2,3,3] 或 nums = [2,2,0,0]，也会被视作正确答案。给你一个数组 nums 和一个值 val，你需要 原地 移除所有数值等于 val 的元素，并返回移除后数组的新长度。不要使用额外的数组空间，你必须仅使用 O(1) 额外空间并 原地 修改输入数组。输入：nums = [3,2,2,3], val = 3。输出：2, nums = [2,2]

【代码随想录算法训练营Day39】62.不同路径；63. 不同路径 II

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03-07

370

今天开始逐渐有 dp的感觉了，题目不多，就两个 不同路径，可以好好研究一下。遇到障碍之后可以不初始化，没赋值默认为0。起始有障碍or终止有障碍直接返回0。可以在for循环中间添加条件。

基础二分学习笔记

ros275229的博客

03-02

321

基础二分学习笔记

【算法集训】基础算法：基础排序 - 计数排序

子琦的博客

03-02

454

*工作原理：**使用一个额外的数组ct,其中第i个元素是待排序数组A中值等于i的元素的个数，然后根据数组ct来将A中的元素排到正确的位置。非基于比较：之前学的排序都是通过比较数据的大小来实现有序的，比如希尔排序等，而计数排序不用比较数据的大小。这些题都可以用其他排序方法试一遍，用来巩固也是比较好的，明天就要开始其他的算法系列了。计数排序(Counting sort)）是一个非基于比较的稳定的线性时间的排序算法，计数排序的名字会让我们想到“计数法”，实际上计数排序的实现就是使用的计数法。

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584

首先明确视觉智能系统的目标，例如物体检测、人脸识别、场景理解等。针对不同的任务设定清晰的应用场景和预期功能。

3.6 log | 309.最佳买卖股票时机含冷冻期，714.买卖股票的最佳时机含手续费，300.最长递增子序列

weixin_58515995的博客

03-07

216

这道题dp[i]的含义为以nums[i]结尾的最长子序列长度，dp[i][的初始化为全为1，因为子序列至少长度为1，递推公式为dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1),i从前向后遍历，j在[0,i)的范围内遍历，每一个dp[i]都要比较，选出最大值返回。这道题添加了冷冻期，卖了的第二天不能交易，处于冷冻期，所以把一天分为四个状态，dp[i][0]表示当天卖出，dp[i][1]表示卖出天数>1,dp[i][2]表示持有状态，dp[i][3]表示当前处于冷冻期，这四种状态包括了所有可能状态。

删除指定的数

2302_79863009的博客

03-06

442

先输入10个整数存放在数组中，再输入⼀个整数n，删除数组中所有等于n的数字，数组中剩余的数组保证数组的最前面，打印剩余的数字。如果当前数字不等于给定整数，就将该数字放在数组中的位置 j ，然后将 j自增 1。i 从前往后扫描整个数组， j 记录当前剩余的数字应该放在数组的哪个位置。最后， j 的值为删除后的数组长度，将数组中前 j 个数输出即可。这样， j 指向的位置就是数组中下⼀个剩余数字应该放置的位置。使用两个指针 i 和 j。

【优选算法】前缀和

fight_for1的博客

03-04

911

前缀和思想其实就是一种简单的dp思想，也就是动态规划什么时候用到前缀和？当要快速求出数组中某一个区间的和。

基础数论_杜德利.pdf

10-30

在这本文件中，首先介绍了基础数论的一些基本概念，例如素数、合数、最大公约数和最小公倍数等。它讲述了这些概念的定义以及它们的性质和应用。通过学习这些基本概念，读者可以建立起对整数的一些基本认识。 接着，...

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